Sumário

Tumorigênese é um processo biológico dinâmico que envolve subpopulações de células cancerosas proliferam distintas em taxas diferentes e Interconvertendo entre eles. Neste trabalho, propôs uma estrutura matemática da dinâmica da população que considera tanto as taxas de crescimento distintas e transições intercelulares entre populações de células cancerosas. A nossa estrutura matemática mostrou que ambos o crescimento e a transição influenciar a razão de sub-populações de células de cancro, mas o último é mais significativa. Nós derivado a condição de que tipos de células cancerígenas diferentes podem manter subpopulações distintas e também explicar por que existe sempre uma relação fixa estável após separação de células com base em marcadores de superfície putativos. A relação da fracção de células pode ser deslocado alterando tanto as taxas de crescimento das subpopulações (selecção darwinismo) ou por transições instruiu-ambientais (indução Lamarckism). Essa percepção pode nos ajudar a compreender a dinâmica da heterogeneidade das células cancerosas e nos levar a novas estratégias para superar o câncer resistência aos medicamentos

Citation:. Zhou JX, Pisco AO, Qian H, Huang S (2014) Nonequilibrium Dinâmica populacional do fenótipo de conversão das células cancerosas. PLoS ONE 9 (12): e110714. doi: 10.1371 /journal.pone.0110714

editor: Gergely Szakacs, da Academia de Ciências da Hungria, Hungria

Recebido: 24 Março, 2014; Aceito: 20 de setembro de 2014; Publicação: 01 de dezembro de 2014

Direitos de autor: © 2014 Zhou et al. Este é um artigo de acesso aberto distribuído sob os termos da Licença Creative Commons Attribution, que permite uso irrestrito, distribuição e reprodução em qualquer meio, desde que o autor original ea fonte sejam creditados

Financiamento:. Esta pesquisa foi apoiado pela National Science Foundation, Grant No. PHY11-25915 e iCore (Alberta, Canadá). O financiador não teve nenhum papel no desenho do estudo, recolha e análise de dados, decisão de publicar ou preparação do manuscrito

Conflito de interesses:. Co-autor Sui Huang é membro do Conselho Editorial PLOS ONE. Isto não altera a adesão dos autores para PLOS ONE políticas e critérios editoriais.

Introdução

Durante a progressão do câncer, o desenvolvimento iguais e atividades homeostáticas, as células tumorais sofrer alterações fenotípicas, como a diferenciação celular, imune activação durante a resposta inflamatória, ou epitelial para mesenquimal (EMT). Um interruptor de Estado celular é impulsionada por mudanças de expressão de genes do genoma que seguem padrões característicos. Por exemplo, em resposta a um sinal que promove a diferenciação, uma população de células progenitoras imaturas expressa proteínas

X e Y

, que estão associados com o estado diferenciado ( “marcador de diferenciação”) e necessária para as funções fisiológicas de as células diferenciadas (Fig. 1A). A rede reguladora do gene (GRN) coordena as alterações nos níveis de genes que implementam estados fenotípicas específicas de células de expressão. GRN descreve como os genes reguladores controlar uma expressão de outro de uma maneira predeterminada, que é codificado no genoma (Fig. 1B). Podemos, portanto, representam um estado de pilha pelo seu padrão de

N

genes onde é a actividade do locus do gene de quantificação ao nível do locus genómico de expressão de expressão, quer sob a forma de transcritos ou proteínas. Devido à não-linearidades inerentes da dinâmica dessas redes, uma estrutura rica do espaço de estados (espaço de todas as configurações de) com múltiplas regiões atraindo ( “multistability” = coexistência de múltiplos estados estáveis) surge de tal forma que cada domínio atraindo mapeia em uma distinta fenótipo celular ou comportamento, como mostrado na Fig. 1C. As bacias de atração compartimentar espaço de estado da rede e dar origem a disjuntos estados estáveis ​​- a captura de propriedades essenciais de tipos de células [1]. A teoria, proposto pela primeira vez mais de 50 anos atrás [2], [3], que (high-dimensional) “atratores” representam os vários tipos de células dos organismos metazoários construíram a base para entender a dinâmica de transição de estado celular e população de células.

A. Três estados de células com expressão e o gene distinto. B. O circuito de regulação do gene de X e Y determina três estados celulares. C. Cada estado está associada com uma taxa de crescimento, respectivamente. Três estados de transição para o outro com as taxas de interconversão.

A célula é a unidade primária em uma população cujo nascimento, morte e transformação eventos subjacentes a dinâmica populacional. Muitos estudos descrevem a transição celular utilizando uma equação mestre quer no formalismo discreto, como redes booleanas [4], [5], ou no formalismo contínua de equações de diferenciação normais (EDO) [6] – [8]. A suposição de conservação de massa é geralmente usado em modelos inspirados equações de velocidade em química. No entanto, deve ser tomado em consideração que a multiplicação celular viola a conservação da massa. A partida de conservação de massa mudar espontaneamente a densidade de probabilidade na ausência de influxo /efluxo de /para o Estado. Esta noção é de importância central para compreender a formação de tecido desde a dinâmica populacional de células tornam-se dinâmicas de não-equilíbrio. A proporção entre as fracções de células correspondentes a diferentes fenótipos não incondicionalmente se aproxima de um estado estacionário, considerando tanto a proliferação de células e de células de transição. Junto com a taxa de transição, o crescimento celular líquida (proliferação menos morte) também altera a abundância de células no estado atrator e, consequentemente, afeta a proporção ocupada de estados atratores, mudando a conformação dos tecidos em geral.

Em biologia da população, nomeadamente no estudo da dinâmica de evolução, muitos pesquisadores têm modelado populações heterogéneas de espécies distintas que diferem em “fitness” [9]. Uma teoria matemática estreitamente relacionado de dinâmica de populações de células é a teoria Luria-Delbrück, iniciada por Luria e Delbrück e amplamente desenvolvido mais tarde por Lea e Coulson, Kendall, Bartlett, Armitage e boneca e muitos outros [10], [11]. Normalmente nestes modelos, a heterogeneidade da população é devido à diversidade de genótipos produzidos por mutações genéticas em vez de multistability e não-genéticos ( “epigenéticas”) transições entre vários estados atratores. Estes modelos de evolução clássicos de populações de células têm desempenhado um papel importante na análise da evolução somática de células cancerosas, que se pensa ser o principal motor da progressão do cancro [9], [12]. No entanto, estes modelos tacitamente assumir um mapeamento um-para-um entre genótipo e fenótipo e assumir mutações genéticas aleatórias como o mecanismo para a mudança de fenótipo celular.

Os recentes avanços na reprogramação de células de mamíferos e transdiferenciação celular sublinharam a importância de multistability e estaduais de células não-genética transições, resultando em dinâmica de populações de células não-genéticos [13], [14]. Considerando tal dinâmica não-genéticos levará a modelos que diferem dos modelos de genética de populações clássicos nos seguintes pontos:

reversíveis

transições de estado: essas transições são frequentemente aproximadamente simétrica, enquanto mutações no modelo tradicional são tipicamente irreversível;

transições de estado Frequent:. taxa de transição, muitas vezes está na mesma escala de tempo, como por divisão de tempo ou até mesmo mais rápido, enquanto a taxa de mutação por locus é muito mais lento do que a taxa de divisão

As transições não são estritamente não-lamarckiana. Eles podem ser induzidas de forma controlada (intencional) ou não controlada, enquanto mutações são direcionados aleatoriamente e as suas taxas não é facilmente ajustável.

O foco principal deste trabalho é a dinâmica da composição celular de um crescimento população de células de cancro. Mais especificamente, o estudo da dinâmica da abundância relativa dos subtipos de células de cancro distintas. Discutimos também as condições para uma população de células cancerígenas para manter a proporção fixa e tipos de células distintas. Finalmente, estudamos como as taxas de transição e crescimento influenciar a relação subpopulação quando a população de células atinge o equilíbrio. Desde a verdadeira novidade desta pesquisa é introduzir a taxa de crescimento dependente do estado para a célula de transição de estado, em geral, este modelo pode ser usado para descrever a diferenciação celular durante a embriogênese, ou qualquer dinâmica de populações de células em que o crescimento ea transição ambos desempenham papéis importantes na mesma escala

modelo celular população de Transição e Crescimento Dynamics:. duas fenótipos

Começamos com um modelo simples de população de células do cancro com-dois fenótipos. Assume-se que os níveis de expressão de marcadores bimodal pode modular a taxa de crescimento. A discretização de uma população de células com níveis de expressão de genes continuamente distribuídos em dois estados, e, é apropriado para capturar a dinâmica populacional característicos. sistemas dinâmicos não-lineares têm geralmente estados estacionários estáveis ​​(atratores) eo sistema deve voltar a atratores sob razoavelmente pequenas perturbações. A dinâmica de retornar aos atratores ou re-estabelecer o equilíbrio após perturbação é geralmente uma propriedade chave dos sistemas dinâmicos não-lineares. Ela nos ajuda a entender o mecanismo de muitos fenómenos biológicos interessantes em biologia, tais como polimorfismo, homeostase etc. Aqui podemos estabelecer as condições para a co-existência dos dois fenótipos caracterizando tanto a existência de uma relação de steady-state destes dois tipos e as dinâmicas subjacentes ao restabelecimento do equilíbrio

modelo primário:. de dois fenótipo dinâmica das populações de células

Nós consideramos a dinâmica de uma população de células com dois estados interconvertendo ( “subpopulações “) e com a abundância relativa e, que têm as suas próprias taxas de natalidade, taxas de mortalidade e as taxas de transição de estado. As taxas de crescimento líquido (as quantidades prontamente medidos) são e, respectivamente. A dinâmica da população de células, incluindo o crescimento celular e transição de estado são descritos pelo conjunto correspondente de ODEs: (1)

Eq. (1) representação matricial é dada por: (2) onde é uma matriz com o crescimento e termos de transição. É importante enfatizar que apenas a taxa de crescimento líquido pode ser mensurado de forma confiável em cultura de células. Se são valores próprios de na Eq. (2), a solução geral deste sistema ODE linear é: (3)

O comportamento dinâmico de longo prazo do presente sistema dinâmico é então determinada pelos dois valores próprios. Há dois comportamentos distintos se os valores próprios ou têm sinais opostos ou mesmo sinal. Quando os dois valores próprios têm sinais opostos, isto é, o termo do crescimento associada com o valor próprio negativo decai exponencialmente. Nesta situação as duas populações de células têm essencialmente a mesma taxa de crescimento, definida pelo valor próprio positivo apenas com diferentes pré-fatores

A

11 (quando

) e

A

22

(

quando

). Isto indica que apenas uma subpopulação pode sobreviver de forma independente, enquanto o segundo subpopulação vive como a derivada da outra.

Quando os dois valores próprios têm os mesmos sinais, ou seja, é preciso considerar se são positivos ou negativos . Se ambos os valores próprios são positivos, as duas subpopulações sobreviver juntos. No longo prazo, ambos os populações irão crescer com o mesmo ritmo, definido pelo valor próprio maior. Finalmente, se ambos os valores próprios são negativos, então ambas as subpopulações extinguir-se juntos. Matematicamente, uma vez que o produto dos dois valores próprios é a determinante da matriz

T

, a condição para que os dois valores próprios tendo o mesmo sinal pode ser escrito como: (4)

Portanto, se as taxas de crescimento para ambos os fenótipos são muito maiores do que as conversões de estado, ou seja, em seguida, as duas subpopulações tanto pode sobreviver sozinhos. No entanto, se uma das duas populações tem uma taxa de transição maior do que a sua taxa de divisão, esta população pode apenas sobreviver, como um “

derivado” do outro (uma vez que depende do “refluxo” a partir do outro) . Esta observação matemática simples tem consequências na resistência aos medicamentos não-genética (persistors) [15], [16]. Se as taxas de conversão das duas subpopulações são muito maiores do que as suas respectivas taxas de crescimento, a distinção dos dois fenótipos celulares discretas torna-se turva. É interessante notar, neste caso, nenhuma das subpopulações pode sobreviver sozinha. Podemos considerar essas duas populações como um único com uma taxa de crescimento média de. Assim, ao examinar as taxas de transição em regimes nunca considerou na dinâmica populacional baseados em mutação (porque as mutações são raras), nós entramos em um regime dinâmico que é relevante para a dinâmica das populações de células em que as conversões fenótipo não-genéticas dominam.

pode-se determinar a proporção da população entre as duas subpopulações neste regime. Uma vez que, a longo prazo, tanto populações de crescimento é dada pela expressão com o valor próprio maior dimensão, isto é, a sua proporção é, essencialmente,

21 /A

22

. A dinâmica de acompanhamento (5)

Portanto, a relação da fracção de estado estacionário é (6) em que denotam como a taxa de crescimento líquido de diferencial com respeito ao da dividido pela taxa de transição de a. Enquanto a proporção da população torna-se estacionária, ambas as populações de e podem crescer indefinidamente. Este resultado se desvia da dinâmica populacional clássicos em que a coexistência de duas populações de diferentes taxas de crescimento não é estável devido à conversão de um sentido (mutação). De facto, trabalhos recentes sobre as populações (isogênico) de células de câncer clonais mostrou que eles tipicamente consistem de vários interconversão de sub-populações discretas associados com propriedades funcionais biologicamente relevantes, tais como caule-como comportamento, capacidade de fármaco-efluxo [14], [17] e diferenciação [13]. O crescimento exponencial a uma razão constante

r *

também concorda com a observação de que as células que são continuamente passadas em cultura de células de manter a relação fixa entre os sub-tipos; a taxa de crescimento da população total é dada por: (7)

A questão agora é: podemos quantificar as diferentes influências na proporção fixa de células observado a partir das taxas de crescimento e de transição? A interpretação biológica possível é que as mudanças no e relativos entre si representam aptidão diferencial em um determinado ambiente, o que poderia promover a seleção darwiniana. Na mesma linha, as mudanças nos pode representar instrução lamarckiana no sentido de que um determinado ambiente podem impor taxas de transição diferenciais entre os diferentes fenótipos. Isto oferece uma estrutura matemática simples para descrever a contribuição relativa da seleção darwiniana e instrução lamarckiana na mudança de proporções populacionais durante a progressão do tumor durante a quimioterapia.

Re-equilíbrio de-dois fenótipos população de células

É fácil de obter o tempo de curso para a dinâmica do re-equilíbrio das subpopulações por encontrar a solução integral para a Eq. (5). Para a conveniência de integração, para alterar a variável e integrá-lo a partir da razão da população inicial de células para a relação, em qualquer momento arbitrário: (8)

Uma vez que, onde é dada pela Eq. (6), temos

(9)

Este resultado sugere que o tempo de re-equilíbrio é da ordem de. Podemos também referência esta equação com dois casos extremos cujas taxas de transição são óbvias. A velocidade inicial para a re-equilíbrio começando com uma subpopulação pura, ou seja, é dada por: (10) enquanto que a taxa inicial de re-equilíbrio começando com puro, ou seja, pode ser escrita como: (11)

no caso geral, a taxa de re-equilíbrio é um processo dinâmico que combina tanto a Eq. (10) e (11). Eq. (5) também prevê que existem dois tipos de dinâmica de re-equilíbrio. A mão do lado direito da Eq. (5) atinge o seu máximo (12) com a taxa (13)

Portanto, se, isto é, a diferença de taxa de crescimento é maior do que a diferença de índices de transição, espera-se que a re-equilibração pode ser descrita por uma curva sigmoidal ao longo do tempo. A taxa de re-equilíbrio aumenta com o tempo até que, seguida por uma taxa decrescente. Isto é mostrado na figura. 2A e 2C. No entanto, se, isto é, a diferença de taxa de crescimento é menor do que a diferença de índices de transição, a taxa de re-equilíbrio dinâmica, começando a

R

= 0, diminui monotonicamente com o tempo. Neste caso, o curso de tempo de re-equilibração segue uma cinética exponencial de saturação (monotonamente crescente antes de atingir a saturação), como mostrado na Fig. 2B e 2D.

A. taxas de crescimento de células diferenciais são maiores do que as taxas de transição diferenciais celular. O derivado de tempo da taxa de células é não monótona antes de atingir a proporção fixa. as taxas de crescimento de células B. diferencial são menores do que a taxa de transição diferencial de células. O derivado de tempo de proporção de células é monotonamente decrescente antes de alcançar a relação fixa. C. dinâmica celular re-equilíbrio é sigmoidal para a condição mostrada na dinâmica celular re-equilíbrio AD é logístico para a condição mostrada na B.

Modelo celular População para a transição e crescimento Dynamics:

H

-Phenotypes

durante o desenvolvimento de organismos multicelulares, geralmente mais do que dois tipos de células são formadas. Isto introduz qualitativamente novas propriedades que não eram vistos no modelo de transição de dois Estados clássica. Para estudar este fenômeno, nós estendemos o nosso formalismo matemático acima para fenótipos celulares: (14)

Aqui estão o respectivo número de células de fenótipos na população de células. Cada fenótipo tem uma respectiva taxa de crescimento; são as taxas de transição de estado de fenótipo celular

i

para o fenótipo

j

. Uma vez que este é um sistema linear, a mão do lado direito pode ser decomposta como a soma de uma matriz diagonal e uma matriz de Markov. A forma matricial da Eq. (14) pode ser escrita como: (15)

Aqui é uma matriz diagonal positiva com as taxas de crescimento e é uma matriz de Markov consiste em taxas de transição. A soma de cada coluna de for zero, devido ao princípio da conservação do fluxo. Isto significa que existem, pelo menos, um valor próprio zero para a matriz Markov, o que garante que existe um estado de equilíbrio, se o sistema é um sistema dinâmico somente de transição (

L

= 0). Se as taxas de crescimento não são zeros, haverá um estado estacionário para proporção relativa de células em vez de um número de células absoluto, mostrado na seguinte equação. Podemos então estabelecer a relação matemática entre a taxa de crescimento e de transição, que é necessário para manter a fenótipos epigenética distintas e a proporção de células fixadas. Se a matriz tem valores próprios, então a solução geral da Eq. (15) é (16)

Aqui são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema dinâmico. Cada subpopulação é a combinação linear de algumas funções de crescimento exponencial. Portanto, não existe no estado estacionário não trivial como acontece no caso de a transição somente dinâmica, ou seja, este sistema linear representa um mundo ideal com amplas nutrientes no qual as células podem crescer indefinidamente.

O co-existência ou co-extinção de

m

subpopulações de células distintas requer valores próprios que satisfaçam ou. Desde que nós queremos a população de células para manter os fenótipos distintos, as taxas de crescimento para todos os fenótipos precisa ser muito maior do que a soma das conversões de estado: para, as subpopulações pode sobreviver por conta própria. No entanto, se uma das populações tem uma taxa de transição maior do que a sua taxa de crescimento, esta população pode apenas sobreviver, como um “

derivado” dos outros (como mais uma vez, depende do “refluxo” das outras) . Se, por outro lado, todas as subpopulações têm taxas de conversão muito maiores do que as suas taxas de crescimento, a diferenciação de múltiplos fenótipos celulares discretos torna-se turva. Nesta situação, haverá apenas uma população de células com subpopulações transição rapidamente entre si, e por isso nenhuma das subpopulações pode sobreviver por conta própria.

Exemplos Biológicos e Interpretação

Neste seção vamos exemplificar os conceitos descritos acima usando dados experimentais da dinâmica populacional de células cancerígenas. É bem conhecido que os tumores individuais abrigar vários fenótipos celulares e cada fenótipo tem diferentes propriedades biológicas, tais como a taxa de crescimento, capacidade de migração e de respostas ao fármaco. Por exemplo, cancro de células estaminais são normalmente associados com o tumor-iniciação, metástase e resistência aos medicamentos. Um dos maiores desafios que a investigação do cancro enfrenta é a resistência aos medicamentos. Existem duas hipóteses sobre a origem da resistência à quimioterapia ou à radioterapia [18]. A primeira hipótese propõe a pré-existência de subpopulações resistentes a drogas, as quais são capazes de sobreviver na presença do fármaco e para se expandir durante e após o tratamento com medicamentos. A segunda hipótese pressupõe que as células cancerosas são fenotipicamente plástico e capaz de transitar entre os estados sensíveis à droga e resistentes aos medicamentos. Em nossos estudos anteriores [19] que modelamos a resposta das células HL60 leucêmicas agudas de quimioterápicos drogas para distinguir estes dois possíveis mecanismos de resistência aos medicamentos. Dado que a expressão constitutiva de

ABC

transportadores é geralmente associada à multirresistência, medimos expressão e atividade do

ABCB1 /MDR1

transportador antes e depois do tratamento de drogas. Verificou-se que dentro da população de células HL60 existem duas subpopulações, MDR1

Baixa e MDR1

alta, que, respectivamente, se correlacionam com baixa ou alta de sobrevivência na presença do fármaco (Figura 3). As duas subpopulações pode espontaneamente interconvertem entre si, com uma relação de co-existência estável de 98:2 (MDR1

Baixa: MDR1

High), sem drogas (Fig.3a) e 60:40 com a droga (Fig.3b ). Os nossos resultados mostraram que a resposta à droga foi predominantemente controlada pela alteração da taxa de transição, em vez de por taxas de crescimento diferencial. Aqui nós expandimos nossa abordagem conceptual para estudar transições de estado em um sistema experimental de câncer de mama com três fenótipos possíveis [20].

linha de células de leucemia HL60 tem duas subpopulações, MDR

High e MDR

Baixo, com base na sua capacidade para reter CalceinAM corante fluorescente (perfis de citometria de fluxo), tal como medido por citometria de fluxo. A citometria de fluxo histogramas correspondem a um instantâneo da população de células a um dado ponto de tempo. Neste caso específico, o parâmetro é a acumulação de um corante fluorescente, CalceinAM, que funciona como um substituto para a actividade de transportadores de ABC e resistência a múltiplos fármacos: se as células retêm o corante, transportadores ABC não estão activos e a célula é sensível a drogas; Se as células não acumulam o corante, transportadores ABC estão activos e a célula é resistente ao tratamento com drogas. A. Na ausência de fármaco das duas subpopulações coexistir em uma proporção de células estável, MDR

High = 2% e MDR

Baixa = 98%. B. Quando as células são tratadas com 10 nM de vincristina durante 72 horas, as proporções alterar a MDR

High = 40% e MDR

Baixa = 60%. Para mais detalhes, consulte o Pisco et al [17].

transição de três fenótipo entre as células-tronco do câncer de mama e células cancerosas diferenciadas

linhas celulares de cancro da mama SUM159 e SUM149 mostrar três comportamentos diferentes, com base em marcadores da superfície celular putativos:-tronco como células (CD44

alta CD24

neg EpCAM

baixo), células basais (CD44

alta CD24

EpCAM negativo

células negativas) e luminais (CD4

baixo CD24

alta EpCAM

alto) [20]. Gupta et al [18] demonstraram que a população de células de SUM159 é predominantemente basal, com uma proporção de células fixas associadas de 97,3% da base (B), 1,9% da haste (S) e as células luminais 0,62% (G). Por sua vez, a linha de células SUM149 predominantemente constituída por células luminais, com uma proporção respectiva de 3,3% da base (B), 3,9% da haste (S) e 92,8% de células luminais (L). No estudo, os autores demonstraram que, se os três estados celulares diferentes são FACSorted com base nos seus marcadores de superfície, e as subpopulações de células relativamente puras foram deixadas crescer em condições de cultura normais, todas classificadas segundo sub-populações de células puras rapidamente recuperado a proporção inicial população de células. Em seguida, é importante perguntar por que os tumores manter essa heterogeneidade com relação fixa e quais são os mecanismos que conduzem à rápida relaxamento das sub-populações de células classificada de volta à razão inicial.

Gupta et al [20] usou um modelo de Markov para descrever a dinâmica re-equilíbrio de subpopulações de células. Embora o modelo de Markov é capaz de explicar a existência de relação de frações celulares estáveis ​​’e também pode capturar a dinâmica dos estados celulares, há duas desvantagens quando comparados a um modelo ODE. Em primeiro lugar, o modelo de Markov re-dimensiona a população total de células a um em cada passo de tempo, mascarando a influência de diferentes taxas de crescimento de subpopulações. A probabilidade de permanecer no mesmo estado no modelo de Markov, o que corresponde à taxa de crescimento no modelo de ODE, dará a razão celular para condições de estado estacionário, mas não pode prever a taxa de crescimento eficaz de toda a população de células. Em segundo lugar, re-equilíbrio é garantida de um processo de Markov, desde que a probabilidade de transições é conservada (por exemplo, cada linha da matriz de transição de probabilidade adicionar-se a 1). No entanto, existem algumas conexões subtis entre as taxas de crescimento e as taxas de transição, que são perdidas pelo modelo de Markov, tais como que a taxa de crescimento e a taxa de transição deve satisfazer a condição em Eq. 6 para atingir o estado estacionário, e as condições para a co-existência ou a existência derivado de diferentes subpopulações. O modelo quantitativo desenvolvido na Seção 3 é usado para abordar estas questões. Nós somos capazes não só de analisar a necessidade de chegar a uma relação fixa entre as diferentes subpopulações de células, mas também para caracterizar a condição de sua existência em uma célula do tipo múltipla e continuamente crescente população de células. Se assumirmos para as subpopulações, pela regra da cadeia da diferenciação, a dinâmica de acompanhamento: (17)

A fim de obter o estado estacionário dos rácios de celulares, montamos na Eq. (17) acima. Isto leva a uma equação quadrática dupla, que não tem uma solução analítica em geral. No entanto, isto pode ser resolvido com métodos numéricos.

Mesmo se as razões de povoamento tornar estacionário, o número de células absoluta das subpopulações, e pode aumentar indefinidamente. Na situação em que as taxas de crescimento são menores do que as taxas de transição, a matriz de transição é predominantemente uma matriz de Markov que satisfaz o princípio da conservação do fluxo, uma vez que tem apenas um valor próprio positivo enquanto que todos os outros são negativos. Todas as subpopulações de células crescer exactamente a uma única taxa de crescimento e as suas proporções serão determinados pelas constantes iniciais (ver Eq. (16)). Portanto, as subpopulações praticamente corresponder ao mesmo tipo de células com diferentes níveis de expressão de biomarcador

X

e nenhum deles pode sobreviver como um tipo de célula independente. Na prática, tais transições rápidas irá se manifestar como flutuações de perfis de expressão gênica, contribuindo para a heterogeneidade da população observada nos instantâneos. Como explorado em Pisco et ai. [19], as mudanças no e pode representar a aptidão diferencial (mutação-less) seleção darwiniana Considerando que a evolução pode representar instrução lamarckiana.

Ao montar o modelo ODE linear de crescimento de transição da Eq. (14) com a fração da população do estado estacionário da Eq. (17), podemos estimar as taxas de crescimento e as taxas de transição de estados há um total de nove variáveis ​​desconhecidas (3 taxas de crescimento e 6 taxas de transição), mas nós temos apenas 2 equações (com a linhagem de células SUM159 e para a linhagem de células SUM149). As soluções são indeterminada porque não havia medições para as taxas de crescimento ou o tempo de re-equilíbrio para cada população de células. No entanto, uma vez que os índices de fracção de células são experimentalmente medido no dia 0 e no dia 6 [18], que pode executar uma verificação parâmetro para encontrar os valores que se encaixam os rácios melhor no dia 0 e no dia 6. O procedimento básico de digitalização parâmetro incluem dois etapas: a primeira, a faixa de valores de análise e os incrementos são estimados para cada parâmetro; Em segundo lugar, uma grande teste de tentativa-e-erro paralelo foi realizado para encontrar os parâmetros que se ajustam melhor aos dados re-equilibração.

O modelo população de células com o crescimento e a inter-conversão é mostrada na Fig. 4A. As taxas de crescimento e as taxas de transição para a linha celular SUM159, obtidos a partir do parâmetro de digitalização, são listados na Tabela 1. Os valores próprios valores são os que proporcionam o melhor ajuste dos dados experimentais. Como mostramos na Seção 3, as subpopulações de células distintas e co-extinção co-existência ou deles requer três valores próprios para satisfazer a todos. Portanto, estes três tipos de células pode co-existir. Um outro critério é para verificar se as taxas de crescimento de todos os fenótipos são muito mais rápidos do que a soma das conversões de estado, isto é, de modo que as três subpopulações podem sobreviver sozinhos. O mesmo procedimento foi aplicado para a linhagem celular 149 SOMA para se obter as taxas de crescimento e as taxas de transição, tal como mostrado na Tabela 1. Calculando os valores próprios concluiu-se que as subpopulações de SUM149 também pode co-existir. Quando verificar a relação entre as taxas de crescimento e as taxas de transição, temos, mostrando que as três subpopulações podem sobreviver por conta própria também.

A. Ilustração do crescimento celular e da transição para a linha celular de cancro da mama com três fenótipos celulares distintos: luminal célula, célula basal e de células estaminais mamária. B1-B6. Depois de FACS triagem, cada subpopulação isolada da linha de células SUM159, caule-like, as células basais e luminais, re-equilibrar com a relação de estado celular estável. painéis superiores são as dinâmicas para números de celulares de três subpopulações; Os painéis inferiores são os dinâmica para os rácios de três subpopulações celulares. C1-C6. Depois de FACS triagem, cada subpopulação isolada da linha de células SUM149, caule-like, as células basais e luminais, re-equilibrar com a relação de estado celular estável. painéis superiores são as dinâmicas para números de celulares de três subpopulações; painéis inferiores são as dinâmicas para as razões celulares de três subpopulações.

A dinâmica para re-equilíbrio da linha de células SUM159 são mostrados na Fig. 4B1-B6. Podemos ver claramente que, após separação de células de cada sub-população de células rapidamente re-equilibrado com a relação de estado estacionário estável

r *

=

N

X

:

N

Y:N

Z

≈1.9:97.3:0.62 no prazo de 12 dias. No entanto, desde linha celular SUM149 geralmente tem taxa de transição muito mais lenta, a população lentamente re-equilibrada para a razão de estado estacionário estável até ao final do tempo de 140 dias-claro, como mostrado na Fig. 4C1-C6. Nossos resultados computacionais para ambas as linhas celulares qualitativamente de acordo com os dados experimentais e os resultados do modelo de simulação de Markov apresentados em Gupta

et al

[18], que mostrou que SUM159 células voltou rapidamente para o equilíbrio enquanto SUM149 células estavam longe de atingindo o equilíbrio no dia 6. Além disso, o modelo ODE revelou mais informações sobre a dinâmica populacional do câncer.