Abstract

A probabilidade controle do tumor (TCP) é um formalismo derivado de comparar diferentes regimes de tratamento de radioterapia, definidas como a probabilidade de que receberam uma dose prescrita de radiação, um tumor foi erradicada ou controlada. Na visão tradicional de câncer, todas as células compartilham a capacidade de se dividir sem limite e, portanto, têm o potencial de gerar um tumor maligno. No entanto, uma noção que emerge é que apenas uma sub-população de células, as chamadas células-tronco do cancro (CSCs), são responsáveis ​​pela iniciação e manutenção do tumor. Uma implicação fundamental da hipótese CSC é que estas células têm de ser erradicado para alcançar curas, assim, nós definimos o TCP

S como a probabilidade de erradicar CSCs para uma dada dose de radiação. Um perfil de expressão de proteínas da superfície celular, tais como CD44high /CD24low para o cancro da mama ou CD133 para glioma, é frequentemente utilizado como um biomarcador para monitorizar CSCs enriquecimento. No entanto, é cada vez mais reconhecido que nem todas as células que suportam este perfil de expressão são necessariamente CSCs, e em particular primeiras gerações de células progenitoras podem partilhar o mesmo fenótipo. Assim, devido à falta de um biomarcador perfeito para os CSCs, que também define um novo mensurável TCP

CD +, que é a probabilidade de eliminar ou controlar as células positivas de biomarcadores. Com base nessas definições, usamos métodos estocásticos e simulações numéricas parametrizado para o caso de gliomas, para comparar o TCP teórica

S eo mensurável TCP

CD +. Nós também usamos o TCP mensuráveis ​​para comparar o efeito de vários protocolos de radiação

Citation:. Dhawan A, Kohandel M, Encosta R, Sivaloganathan S (2014) Probabilidade de controle do tumor em células-tronco cancerosas hipótese. PLoS ONE 9 (5): e96093. doi: 10.1371 /journal.pone.0096093

editor: Shree Ram Singh, National Cancer Institute, Estados Unidos da América

Recebido: 19 de dezembro de 2013; Aceito: 02 de abril de 2014; Publicado em: 08 de maio de 2014

Direitos de autor: © 2014 Dhawan et al. Este é um artigo de acesso aberto distribuído sob os termos da Licença Creative Commons Attribution, que permite uso irrestrito, distribuição e reprodução em qualquer meio, desde que o autor original ea fonte sejam creditados

Financiamento:. Este trabalho foi apoiado financeiramente pela concessão NSERC /CIHR Collaborative Research Saúde (SS e MK). Os financiadores não tiveram nenhum papel no desenho do estudo, coleta de dados e análise, decisão de publicar ou preparação do manuscrito

CONFLITO DE INTERESSES:.. Os autores declararam que não existem interesses conflitantes

Introdução

Radioterapia tornou-se um veículo principal para a terapia do câncer, e seu uso continuado como um tratamento terapêutico e paliativo eficaz só pode ser justificada se os riscos de efeitos colaterais associados que podem ser efectuadas são minimizados. Teoricamente, isso pode ser colocado como um problema de otimização, onde a função risco-benefício para a dosagem de radiação e agendamento deve ser otimizado. Neste trabalho, um elemento-chave desta função, o benefício acessível a partir do tratamento, é examinado. Classicamente, a probabilidade de controlo do tumor (TCP) foi usado como uma ferramenta em radioterapia para medir a probabilidade de que o objectivo do tratamento – a eliminação de todas as células clonogénicas – foi atingido [1] com dados na forma de curvas de fracção de sobrevivência (que carregam informações da proporção de células que sobrevivem a uma dose especificada de radiação), como um modelo de probabilidade de morte de células clonogénicas indivíduo induzida por radiação, o TCP calcula a probabilidade de erradicação do tumor, tendo em conta factores como a proliferação celular entre a radiação fracções de tratamento e as taxas de mortalidade das células naturais.

A visão tradicional do câncer afirma que todas as células em um tumor maligno são clonogênica, com diferenças genéticas e epigenéticas. Uma hipótese é que emerge a noção de que muitos cancros são conduzidos por células-tronco cancerosas (CSCs), uma subpopulação de células que possuem a capacidade de proliferar indefinidamente e, portanto, para conduzir e manter o crescimento tumoral. Existência de CSCs foi firmemente identificados na leucemia [2], e, mais recentemente, em muitos tumores sólidos, incluindo o cancro da mama [3] e tumores cerebrais [4] – [5].

Além disso, outros trabalhos têm hipótese ( e demonstrado no contexto de cancros hematopoiéticos) a existência de uma hierarquia de células em vários estágios de diferenciação compreendendo um tumor, começando com as células estaminais se diferenciarem em células progenitoras, que se diferenciam em células maduras. Um principal implicação da hipótese é que a CSC CCC pode gerar todas as células dentro de um determinado tumor, que carecem de cancro potencial de propagação (não-CCC), e também que os CSCs deve ser erradicada para controlar o tumor [6]. Por isso, definimos o TCP

S como a probabilidade de erradicação ou controlo de CSCs para uma dada dose total de radiação.

Tal como as células estaminais normais, os perfis de expressão de proteínas da superfície celular são frequentemente usadas para identificar e isolar os CSCs. Isso inclui CD34highCD38low para a leucemia, CD133 + para tumores cerebrais e CD44highCD24low para tumores de mama. No entanto, há evidências crescentes de que nem todas as células que carregam este perfil de expressão são necessariamente CSCs (ver [6] e as referências). Considerando CSCs como o ápice da hierarquia, eles podem sofrer divisões tanto simétricas ou assimétricas para reabastecer a piscina CSC e gerar células progenitoras com potencial tumorigénico potencial e baixo proliferativa limitada. Normalmente, um progenitor precoce irá dividir em progenitores mais tarde (mais maduros), sofrendo apenas várias rodadas de divisão celular auto-renovação antes da diferenciação terminal. Emergentes evidência apoia a conclusão de que os primeiros gerações de células progenitoras compartilham a mesma biomarcador. Assim, assumimos que a expressão da proteína da superfície celular (usamos a notação CD + geral) é compartilhada por CSCs e as três primeiras gerações de células progenitoras [7] – [8], a Figura 1. Assim, nós também definir um TCP

CD + como a probabilidade de eliminar ou controlar as células biomarcadores positivos (CD +).

Nós assumimos que CSCs e progenitores precoces (de compartimento não CSC) compartilham o biomarcador CD133. Aqui, (), e denotam estaminais, células progenitoras e células maduras, respectivamente.

Uma característica da hipótese CSC é a sua natureza unidirecional. No entanto, estudos recentes têm suportado a existência de plasticidade considerável entre as populações não-CSC e CSC, sugerindo conversões bidireccionais entre estes dois compartimentos [9]. Tal desdiferenciação pode surgir devido a aquisição estocástica de mutações genéticas ou epigenéticas em genes que promovem o estado CSC-like (por exemplo, MBI1). Estudos experimentais têm demonstrado que o processo inverso pode ocorrer através do epitélio de transição mesenquimal [10] – [11]. Neste artigo, vamos supor que desdiferenciação pode ser ignorado durante o tratamento de radiação e considerar uma hierarquia apenas unidirecional para a hipótese CSC; futuros trabalhos nesta área pode incluir uma análise de como a taxa de impactos desdiferenciação do TCP.

No lado teórico, vários modelos foram desenvolvidos para estudar o TCP (ver [12], para uma revisão). Um modelo simplificado para o TCP pode ser calculada com base nas estatísticas binomial, pelo que podemos definir um sucesso ser uma morte celular, e, em seguida, a probabilidade de controlo do tumor é definida como a probabilidade de que existem

N

0 sucessos, onde

n

0 é a população total de células clonogénicas. Este modelo negligencia para incluir fracções entre a proliferação de células, bem como os efeitos estocásticos. Um segundo modelo que tem sido extensivamente estudado é baseado nas estatísticas de Poisson, usados ​​para aproximar o processo estocástico da morte celular induzida por radiação. Neste modelo, as equações diferenciais determinísticos são formulados que conta para o crescimento celular e a morte devido a ambas as causas naturais, bem como a radiação, e, em seguida, a probabilidade de controlo do tumor é determinado através de uma distribuição de Poisson, cuja média é a solução para a equação determinista . Um terceiro modelo que tem sido formulado que descreve os efeitos estocásticos da morte celular induzida por radiação com grande precisão é o modelo Zaider-Minerbo TCP [13], em que os processos estocásticos subjacentes nascimento celular e a morte são formalizados, e utilizado para definir um equação mestra. Em seguida, através de uma abordagem função geradora, esta equação mestre é transformada em uma equação diferencial parcial, que pode posteriormente ser resolvido para o TCP. Trabalhos recentes têm-se concentrado sobre a contabilização de efeitos no ciclo celular na potência de radioterapia, por representando a radiorresistência adicional conferida pela presença de células de tumor de repouso (não activos) [14] – [15].

Apesar todas as extensões para o TCP que podem ser encontrados na literatura, o principal argumento nivelado contra o TCP, que não é uma quantidade mensurável durante a terapia, ainda se mantém. Dado que o controlo do tumor só é alcançado quando toda a população de células clonogénicas foi eliminado, a fim de verificar experimentalmente isso, seria necessário para examinar todas as células de tumor restante para clonogenicidade. A extensão para o TCP que é aqui apresentado representa a presença de cancro de células estaminais, e porque (efeitos de desdiferenciação durante a radiação de restrição) a erradicação de cancro de células estaminais eficaz implica o controlo do tumor, o TCP

S é definido como o controle da população de células estaminais câncer só. Além disso, devido à falta de um biomarcador perfeito, que definem uma segunda variante do TCP, o TCP chamado

CD + definido apenas como o controlo das células de biomarcadores-positiva. Além disso, o modelo utilizado para descrever células estaminais neste trabalho é um sistema hierárquico, que não foi anteriormente considerada na literatura.

usar métodos estocásticos, combinadas com as técnicas de análise e computacionais para calcular a razão TCP

S e TCP

CD +. Nós mostramos a relação entre estas duas variantes do TCP em diferentes cenários. Assim, essencialmente descrevem o relacionamento entre uma quantidade mensurável e uma quantidade teórica, e mostram que a quantidade mensurável substituto proposta é, em geral, um substituto eficaz para o TCP teórico. Notamos que a motivação para o TCP teórica (TCP

S) segue a partir da proposição da hipótese de células-tronco do câncer que a eliminação da população de células-tronco do câncer atinge fundamentalmente controle do tumor.

Esta nova formulação será aplicável como uma medida do sucesso do tratamento, em situações, por exemplo, onde é realizada uma biópsia de células tumorais, e utilizando protocolos de detecção das células, o nível de controlo das células positivas é determinada biomarcador. A partir deste, o nível de controlo global do tumor pode ser inferida, e a terapia de radiação ajustado para alcançar o objectivo terapêutico calculado pela TCP teórico. Desta forma, a utilização de quantidades mensuráveis ​​de o controlo das células positivas biomarcador, o TCP teórico pode ser estimado, e os objectivos da terapia pode ser realizada com maior eficácia.

Além disso, para os tumores com um pequeno número de células, tais como micro-metástases ou aqueles cultivados in vitro, a formulação do TCP derivado neste trabalho será de grande benefício. Nestes casos, os efeitos estocásticos dominam, e, portanto, o TCP torna-se uma quantidade significativa na determinação de dosagem de radiação [16]. Novamente, utilizando os dados sobre o tumor sob a forma de o nível de controlo das células positivas de biomarcadores em vários pontos de tempo ao longo do curso do tratamento, o TCP teórico pode ser inferida, orientando assim o protocolo terapêutico.

a aplicação prática do TCP, em um ambiente clínico, gira em torno de seu uso em predizer os resultados do tratamento, comparando diferentes esquemas de tratamento. Quando usado em conjunto com um modelo adequado para a probabilidade de complicações tecido normal (NTCP), o protocolo TCP pode ser utilizado para determinar uma dose de radiação óptima.

Materiais e Métodos

Os detalhes matemáticos sobre a derivação completa e prova do cálculo de ambos os TCP teórico mensurável e pode ser encontrado no ficheiro S1. Aqui nós apresentamos uma breve descrição dessas técnicas.

Com o objetivo de desenvolver um modelo totalmente estocástico para o crescimento do tumor e tratamento por radiação, que primeiro definir uma hierarquia das populações de células críticas dentro de um tumor que são centrais para uma análise mais aprofundada de um modo semelhante a [7]. Consideramos três populações, caule

S

, progenitor

P

, e amadurecer

M

, células. Fundamentalmente, as células-tronco se diferenciam em células progenitoras, que se diferenciam em células maduras, ou

S

→

P

→

M

. No entanto, notamos que, enquanto as células estaminais têm a capacidade para a divisão ilimitada, células progenitoras dividir apenas um número limitado de vezes, e células maduras não se dividem. Assim, assumimos que uma célula progenitora divide exatamente

N

vezes antes de finalmente se diferenciar em uma célula madura

M

. Isto é, tem a hierarquia modificado. Além disso, nota-se que qualquer tipo de célula pode ser morto pela radiação, e assumimos que ele ocorre com a taxa, pois, o que representa estaminais, progenitoras e células maduras, respectivamente. Agora, para o modelo, as seguintes vias de divisão e apoptose são ativos, com as taxas para cada tipo de divisão da seguinte forma (note que e):

Onde e referem-se às taxas de natalidade para as células estaminais e progenitoras, respectivamente, e, e referem-se as probabilidades de cada tipo de divisão de células-tronco. Para os efeitos do presente modelo, assim como a análise subsequente, assumimos que as mortes celulares são independentes um do outro. Assumimos também que as células podem proliferar no tempo entre frações de radiação.

A fim de calcular o TCP, devemos primeiro definir a função de probabilidade conjunta para o sistema. Isto é, deve definir a probabilidade de que o sistema contém um determinado número de cada tipo de célula no momento

t

. Nós produzimos o pressuposto de que, no momento inicial, o número de cada tipo de célula é conhecido e estes valores são indicadas, para as células-tronco, cada uma das gerações de células progenitoras e de células maduras, respectivamente.

em seguida, proceder, definindo um conjunto de funções que dão a probabilidade para cada combinação possível de células em cada uma das classes, a qualquer momento. Utilizando estas funções, que derivam de um conjunto de equações mestre definidos como os derivados destas funções com respeito ao tempo. Esta informação é usada para isolar a função que dá a probabilidade de ter erradicada todas as células estaminais em um dado momento, o qual podemos resolver para analiticamente, derivando assim o TCP teórico. Utilizando um processo análogo, obtém-se uma equação diferencial que define a função que representa o TCP para o controlo das células positivas de biomarcadores (i.e.). Esta equação diferencial pode ser resolvida numericamente por um novo método baseado no método das características, que é um método de solução da equação diferencial bem estabelecida (Ficheiro S1).

Resultados

Os detalhes do modelo utilizados para descrever a radiação induzida morte celular (ou seja, a função de risco) são definidos em ficheiro S1. O modelo é uma versão modificada do modelo linear-quadrático (LQ), com o pressuposto de que todos os primários morte celular ocorre directamente no intervalo durante o tratamento de irradiação. Dentro desse modelo, existem parâmetros de radiossensibilidade

α

e

β

que a mudança com base no tipo de célula ou tecido, uma vez que diferentes células (células por exemplo biomarcadores positivos contra células biomarcadores-negativo) têm foi demonstrado que têm diferentes radioresponses [17]. Por exemplo, [18] observaram que a CD133 + células exibem uma maior radiorresistência do que as células CD133- em glioblastomas humanos. Com base nestes dados, a seguir [19], assumimos que há um aumento de três vezes nos parâmetros radio-sensibilidade LQ,

α

e

β

, para células de biomarcadores negativos como em comparação com células de biomarcadores-positivo (valores de parâmetros são semelhantes aos utilizados por [20] – [21]). Isto descreve o facto de que não só é o controle destas células biomarcadores-positivo de rádio-resistentes altamente desejáveis, uma vez que, teoricamente, proporciona um controlo de células estaminais, mas também que a realização que seria necessário uma quantidade similar de radiação como o controlo de todas as células tumorais, porque desta diferença nas rádio-sensibilidades. A Figura 2 fornece uma visualização gráfica dessa diferença na radiosensitivities no que se refere às frações de sobrevivência, ou a fração de uma determinada quantidade de células que sobrevivem irradiação para uma determinada dose.

Para ilustrar as diferenças entre o uso uma quantidade mensurável como um representante adequado da TCP, os valores do TCP

S (TCP teórica) e TCP

CD + (TCP mensurável) foram computados numericamente (S1 Arquivo) para três horários distintos de radiação, e comparados. Na ausência de dados experimentais para o número de gerações positivos biomarcador de células progenitoras,

N

, para cada um dos esquemas de tratamento de radiação, o TCP

CD + foi calculado para os casos distintos de 1, 2, ou gerações positivos 3 biomarcadores de células progenitoras. Usando um programa de tratamento convencional (2 Gy /fr, 5 FR /sem, até 60 Gy), a partir de [22], que compara o TCP

S e as três curvas geradas para TCP

CD +, quer com um , 2, ou 3 gerações de células progenitoras como biomarcador-positiva na Figura 3. os resultados das simulações mostraram que, fundamentalmente, para os parâmetros biológicos realistas, a diferença entre o TCP

S e TCP

CD + curvas não é drástica , como as curvas de atingir uma probabilidade significativa todos perto do mesmo ponto de tempo (Figura 3). Isto é, se o TCP

CD + foi utilizado como um substituto para o TCP

S, o controlo do tumor seria clinicamente correspondem aos 1-2 dias adicionais de radioterapia ou 2-4 Gy de radiação adicional, sob o TCP mais conservadora

CD + valor, dependendo da programação de radiação em questão. Estes resultados são encorajadores e sugerem que a utilização do TCP

CD + como um substituto para o valor teórico é de fato possível, eo custo extra de controle do tumor usando uma estimativa mais conservadora é marginal.

O gráfico da esquerda é para TCP como uma função do tempo em dias, eo direito é um para TCP como uma função da dose de radiação de administrados

Além disso, três protocolos de tratamento foram comparados diretamente:. convencional, hiper-fracionada , e acelerada hiper-fraccionado, feita a partir de [22]. Os horários de radiação eram como se segue: convencional (Esquema 1): 2 Gy /fr, 5 FR /sem, até 60 Gy; hiper-fraccionada (Esquema 2): 1,2 Gy /FR, FR 2 /d, 5 d /sem, até 60 Gy; acelerada hiper-fraccionada (Esquema 3): 1,5 Gy /FR, FR 2 /d, 5 d /sem, até 60 Gy. Os resultados dessas simulações são representadas nas Figuras 4 e 5, pode-se inferir que o TCP

curvas S obtidos são qualitativamente consistente com o TCP

CD + curvas, o que sugere ainda que a quantidade mensurável é suficiente para actuar como um substituto clínico para o TCP teórica.

o gráfico da esquerda é para TCP como uma função do tempo em dias, eo direito é um para TCP como uma função da dose de radiação de administrado.

o gráfico da esquerda é de TCP como uma função do tempo em dias, e à direita é um de TCP como uma função da dose de radiação de administrado.

é também importante notar que, no simulações considerado, o efeito de ajuste, dando, o que dá uma taxa de morte celular biomarcador-positiva característica, é um aumento da separação das curvas de TCP obtidos por aumento do número de células progenitoras no compartimento do biomarcador-positiva. Se esta hipótese não é feita, então pode-se assumir que as células estaminais são menos radiossensíveis do que as células progenitoras, dando assim o resultado que o TCP obtida depende muito pesadamente sobre essa população, de modo a olhar para um TCP à base de biomarcador seria quase idêntica à olhando para o TCP teórico, porque o efeito das gerações suplementares de células progenitoras iniciais é tão insignificante.

Discussão

ao descrever um modelo de tumor que consiste em uma hierarquia unidireccional de proliferação de células estaminais em cancro células progenitoras, e, subsequentemente, em células maduras dentro de um tumor (Figura 1), e modelar a evolução deste sistema como um processo estocástico, duas quantidades foram gerados e analisados ​​posteriormente. Nomeadamente, o TCP

S e o TCP

CD +, representando a probabilidade de erradicar todos os CSCs e a probabilidade de erradicação de todas as células de biomarcadores-positiva, respectivamente, foram geradas a partir de nosso modelo através de análise matemática e computação numérica. Essas quantidades seguida, foram calculados e comparados por três diferentes esquemas de tratamento de radioterapia. A conclusão geral é a de que o TCP

CD +, representando uma quantidade mensurável, de modo fiável estimar o TCP

S, sugerindo que a utilização do TCP

CD + como um substituto clínico para o teórico TCP

S é de facto muito viável.

os resultados obtidos neste documento também proporcionar uma explicação possível no contexto de certas resultados experimentais obtidos contraditórias. Especificamente, foi relatado por McCord et ai. (2009) que as células CD133 + glioblastoma isoladas de duas culturas diferentes neuroesferas não exibir consistente comportamento radioresponse relação a células CD133- correspondentes [23]. As curvas fracção de sobrevivência obtidos demonstraram que as células positivas de biomarcadores a partir de uma cultura neuroesferas foram mais radiorresistente do que as células negativas de biomarcadores correspondentes a partir do mesmo tumor, mas as células positivas de biomarcadores a partir de um tumor diferente foram encontrados para ser aproximadamente a mesma radiossensibilidade de células negativas de biomarcadores a partir de que tumor. Com base nos resultados desta experiência, os autores sugerem que o observado que a fracção de sobrevivência (e TCP correspondente) varia, dependendo da proporção de células estaminais contidas dentro do compartimento positivo o biomarcador. Na nossa perspectiva, este é explicado uma vez que as células positivas de biomarcadores não são necessariamente uma população homogénea de células estaminais do cancro, mas também podem incluir gerações de células progenitoras com uma radiossensibilidade diferente, de modo que a curva da fracção de sobrevivência para o biomarcador células positivas podem estar em qualquer lugar entre as duas curvas de sobrevivência fracção para uma população homogénea de células-tronco e apenas uma população homogénea de células progenitoras (embora a forma da curva pode não ser necessariamente a mesma). Assim, esta observação serve como uma possível explicação dos resultados que biomarcador células positivas a partir de linhas de células de tumor diferente, não dão necessariamente a mesma curva de fracção de sobrevivência, porque eles não têm necessariamente consistir inteiramente de a mesma proporção de células-tronco, mesmo através de todas as células ambas as amostras são biomarcador positivo. De facto, a curva de sobrevivência obtido pode ser racionalizada como uma forma de uma média ponderada (n aritmica) da radiosensitivities das duas sub-populações de células de tumor que podem ser classificados como biomarcador-positiva.

Embora os resultados obtidos em este trabalho representam uma nova abordagem computacional para calcular o TCP, e adicionar um aspecto mensurável, experimentalmente quantificável a ele (ou seja, o TCP

CD +), uma limitação sem solução do TCP é que ele deixa de contabilizar os efeitos espaciais dentro do tumor microambiente que foram mostrados para contribuir grandemente para a sua radioresponse. Uma futura direção específica em explorar esta via de investigação seria estender o modelo apresentado para incluir os efeitos da relação de reforço de oxigênio [24] – [26]. Uma vez que a presença de oxigénio é essencial em radiobiology devido ao seu papel na formação de radicais livres, a taxa de morte celular induzida por radiação é altamente dependente dela. Ou seja, dentro de um contexto clínico, o OER explicaria os efeitos de um microambiente hipóxico e as mudanças no radiossensibilidade das células tumorais. Usando estes dados em conjunto com o modelo TCP permitiria o TCP para ter em conta os efeitos espaciais, ajustando disponibilidade de oxigénio locais e distribuição. A extensão nessa direção é motivada principalmente pela pesquisa atual sugere que o microambiente do tumor desempenha um papel fundamental na determinação das propriedades de células-tronco, e sua radioresponse correspondente.

Outra avenida para esta pesquisa seria combinar os resultados apresentado aqui com métodos compartimento previamente estudadas, como o modelo ativo-inativo [14] – [15], para tirar o máximo proveito dos dados radiobiológicos. Fazer isso seria permitir uma formulação mais precisa e, possivelmente, clinicamente aplicável do TCP, uma vez que fatores não levados em conta dentro do modelo apresentado, como a fase de célula dentro do ciclo celular, podem ser contabilizados.

por último, uma alternativa, o sentido de pesquisa experimental é para quantificar os efeitos da radioterapia, especificamente utilizando os instrumentos apresentados acima para analisar o TCP por meio observáveis. Fazer isso exigiria a geração de curvas de sobrevivência, ea partir deste ajuste de curva para obtenção de parâmetros de radiossensibilidade. Utilizando os resultados de tais experiências permitiria médicos para utilizar mais clinicamente parâmetros relevantes, e assim melhorar a aplicabilidade dos resultados apresentados, melhorando em última análise, os resultados dos pacientes [27].

Informações de Apoio

arquivo S1.

Informações de Apoio. Incluindo o seguinte: (1) os detalhes do modelo matemático, (2) os parâmetros utilizados para obter os resultados, e (5) as referências citadas no Informações de Apoio

doi: 10.1371. /Journal.pone.0096093.s001

(PDF)

Reconhecimentos

Agradecemos K. Kaveh para discussões úteis.