Abstract

iniciação Cancer, progressão, eo surgimento de resistência aos medicamentos são movidos por alterações genéticas e /ou epigenéticas específicas, tais como mutações pontuais, alterações estruturais, a metilação de DNA e alterações de modificação das histonas. Essas alterações podem conferir efeitos vantajosos, deletério ou neutro para células mutantes. Estudos anteriores mostraram que as células que albergam duas alterações particulares podem surgir numa população de tamanho fixo, mesmo na ausência de um estado intermediário no qual células contendo apenas a primeira alteração assumir a população; Este fenômeno é chamado tunelamento estocástica. Aqui, nós investigamos um modelo estocástico Moran em que duas alterações surgem numa população de células de tamanho fixo. Nós desenvolvemos uma nova abordagem para descrever exaustivamente a dinâmica evolutiva de escavação de túneis estocástica de duas mutações. Foram considerados os cenários de grandes taxas de mutação e vários valores de aptidão e validado a precisão das previsões matemáticas com exatos simulações computacionais estocásticos. Nossa teoria é aplicável a situações em que duas alterações são acumulados em uma população de tamanho fixo de células em divisão binária

Citation:. Haeno H, Maruvka YE, Iwasa Y, Michor F (2013) Tunneling Stochastic de duas mutações em uma população de células cancerosas. PLoS ONE 8 (6): e65724. doi: 10.1371 /journal.pone.0065724

editor: Frank Emmert-Streib, University Belfast da rainha, Reino Unido

Recebido: 19 de dezembro de 2012; Aceito: 26 de abril de 2013; Publicação: 26 de junho de 2013

Direitos de autor: © 2013 Haeno et al. Este é um artigo de acesso aberto distribuído sob os termos da Licença Creative Commons Attribution, que permite uso irrestrito, distribuição e reprodução em qualquer meio, desde que o autor original ea fonte sejam creditados

Financiamento:. Este trabalho foi apoiado pelo NCI. Os financiadores não tiveram nenhum papel no desenho do estudo, coleta de dados e análise, decisão de publicar ou preparação do manuscrito

CONFLITO DE INTERESSES:.. Os autores declararam que não existem interesses conflitantes

Introdução

as alterações genéticas e epigenéticas em vias de sinalização, mecanismos de reparo do DNA, do ciclo celular e apoptose de chumbo para a reprodução anormal, morte, migração, a estabilidade do genoma, e outros comportamentos de células, que podem levar ao aparecimento e progressão de cancro [1]. Por exemplo, a inactivação homozigótica do gene RB1 faz com que o retinoblastoma cancro ocular de infância [2]. Da mesma forma, uma translocação recíproca entre os cromossomas 9 e 22 leva à criação da fusão BCR-ABL resultante oncoproteína na leucemia mielóide crónica [3], [4]. alterações epigenéticas também pode induzir alterações na expressão de genes dentro de células cancerosas [5]. Além disso, a resistência aos medicamentos em células cancerosas é adquirida por alterações genéticas e /ou epigenética: no tratamento de leucemia mielóide crónica, por exemplo, a terapia de combinação de imatinib (Glivec, STI571) e dasatinib (BMS-35482) frequentemente falha devido ao surgimento de apenas uma ou duas alterações genéticas dentro do domínio da tirosina quinase de BCR-ABL [6].

Enquanto estudos experimentais identificaram específica (epi) alterações genéticas e suas consequências para a progressão do cancro e resistência aos medicamentos, investigações matemáticas têm fornecidas insights sobre como as células tumorais acumulam essas alterações durante a tumorigênese. Na década de 1950, a teoria de vários estágios da carcinogênese foi proposto quando Nordling, Armitage e Doll, e Fisher investigou a distribuição etária da incidência de câncer com abordagens matemáticas [7], [8], [9]. Em 1971, Knudson revelada, utilizando análises estatísticas dos dados de incidência de retinoblastoma, que dois acessos em um “anti-oncogene” são os passos limitantes da velocidade nesta doença [2]; este gene foi mais tarde identificada como a RB1 supressor de tumores [10]. Nos últimos anos, o conhecimento biológico sobre dinâmica populacional e mecanismos moleculares da tumorigênese, invasão e resistência terapêutica foram incorporados os modelos matemáticos; por exemplo, estruturas de tecido em determinados tipos de câncer [11], [12], [13], [14], [15], [16] e a evolução da resistência aos medicamentos em células de câncer [17], [18], [ ,,,0],19] foram consideradas.

Muito esforço tem sido dedicado a elucidar a dinâmica de acumulação de dois (epi) alterações genéticas em uma população de um número fixo de células. A teoria de que revela a dinâmica da acumulação de duas mutações específicas numa população é útil para prever o risco de surgimento e a taxa de progressão das células cancerosas, e também para a cinética de resistência a drogas. Além disso, a teoria pode ser estendido para casos mais complicados, em que mais de duas mutações específicas desempenham um papel em lesões malignas. Em 2003, Komarova et al. [20] derivado soluções de análise de redes de selecção de mutação estocásticos com a suposição de que a maior parte do tempo, a população de células é homogénea no que diz respeito a mutações relevantes. Eles definido encapsulamento estocástica como o caso em que as células com duas mutações parecem a partir de uma linhagem de células portadoras de uma única mutação; esta última, eventualmente, se extingue em vez de chegar fixação. Eles realizaram uma análise precisa da existência de túneis estocásticos e explicitamente calculada a taxa de tunelamento [20]. Em 2004, Nowak et al. [21] calculada a probabilidade como função de tempo que, pelo menos, uma célula com dois alelos inactivados de um gene supressor de tumor foi gerado. Eles descobriram três diferentes leis cinéticas: em pequenas, médias e grandes populações, demorou, respectivamente, dois, um e zero etapas limitantes da velocidade para inactivar um supressor de tumor. Eles também estudaram o efeito do cromossomal e outros instabilidades genéticas. Pequenas lesões sem instabilidade genética necessária um tempo muito longo para inativar a próxima TSG, enquanto que as mesmas lesões com instabilidade genética representava um risco muito maior de progressão do câncer [21]. Iwasa et ai. [22], no mesmo ano, derivada a taxa de encapsulamento explícita para as situações em que as células com uma mutação eram neutros ou desvantajosas em comparação com as células de tipo selvagem, com células com duas mutações de ter a maior aptidão. As soluções analíticas desde um ajuste excelente para simulações de computador estocástica exatas [22]. Em 2005, Weinreich e Chao [23] desenvolveu uma expressão analítica para o tamanho da população crítica que define a fronteira entre o regime de fixação sequencial de duas mutações e de que a fixação simultânea num modelo de Wright-Fisher; Eles também investigaram o efeito da recombinação sobre este fenómeno [23]. Em 2008, Schweinsberg investigado o tempo de espera para um grande número de mutações que ocorrem quando a variação de fitness conferida por cada mutação é desprezável; isto é. quando as mutações são neutras [24]. Lynch estudou o tempo médio para a fixação de duas mutações e os efeitos de recombinação sobre esse processo em uma grande variedade de tamanhos de população [25]. Weissman et al. [26] e Altland et ai. [27] analisaram como recombinação afeta o tempo esperado para alcançar a fixação de duas mutações sob a suposição de que tipos de células intermediárias são desvantajosas.

Em 2009, Weissman et al. [28] calculada a taxa de encapsulamento estocástica como uma função das taxas de mutação, a dimensão da população e a aptidão da população intermediário abrigando apenas uma única mutação no modelo de Wright-Fisher. Eles descobriram que quando as populações intermediárias estavam perto de neutro, em comparação com células de tipo selvagem, então tunneling estocástica facilmente surgiu em grandes populações. Em pequenas populações, no entanto, estocástico tunneling era muito menos provável que surjam [28]. Mais tarde, Proulx utilizados métodos elementares de análise de processos estocásticos para derivar a probabilidade de tunelamento no limite de tamanho grande população para ambos os modelos Moran e Wright-Fisher. Ele descobriu que a probabilidade de tunelamento estocástica foi duas vezes maior no modelo de Wright-Fisher como no modelo Moran [29].

Finalmente, aproximações de difusão também representam um método útil para descrever o processo evolutivo de mutações que se acumulam numa grande população de células sob o pressuposto de selecção fraco [30]. Em 2009, Lehmann e Rousset [31] investigou probabilidades de fixação multi-locus de menores de forças arbitrárias de seleção no modelo de Wright-Fisher, usando as ferramentas de aproximações de difusão. Eles mostraram que tais probabilidades de fixação pode ser expressa em termos de coeficientes ponderados de selecção pela média primeiras passagens tempos de linhagens gene ancestral dentro de um único ancestral. Eles, então, aplicado estes resultados para investigar a interferência Hill-Robertson, ou seja estocástica tunelamento de linhagens de células [31].

Apesar de uma riqueza de incursões a dinâmica de tunelamento estocástica de duas mutações em populações de células, vários críticos questões permanecem. Por exemplo, atualmente abordagens disponíveis não fornecem previsões precisas para situações em que as taxas de mutação são grandes. Tais cenários, no entanto, são importantes quando se considera a acumulação de mutações em células de cancro dado que muitos tipos de tumor exibem fenótipos mutantes [32] – [37]. Além disso, os métodos existentes não levam em conta todos os efeitos da aptidão possíveis dos tipos de células individuais -. Tais como o aumento da aptidão de células com uma mutação em comparação com aqueles com zero ou duas mutações

Neste artigo, abordamos estes cenários para proporcionar uma descrição geral de encapsulamento estocástica numa população de células de tumor de tamanho constante. Tal modelo descreve muitas situações que surgem durante a tumorigénese, tais como a dinâmica de iniciação do cancro a partir de um compartimento celular de um tecido saudável, bem como a fase crónica de progressão tumoral [21], [38]. Concebemos três métodos para calcular a probabilidade de existência de uma população homogénea de células, todas as quais abrigam duas mutações, num ponto de tempo arbitrário. Um método demonstrado um ajuste preciso contra todos os cenários em simulações numéricas, mas teve um grande custo computacional. O segundo método mostrou um ajuste muito bom com um pequeno custo computacional; No entanto, as previsões não eram precisas em casos em que as células com duas mutações tiveram a mesma aptidão como células de tipo selvagem. O último método produziu resultados precisos em última situação de adequação neutro. Ao utilizar o melhor método para cada condição de parâmetro, obtivemos uma aproximação precisa para a probabilidade de uma população homogênea de células com duas mutações ao longo do tempo.

Métodos

O modelo matemático

Consideremos uma população de

N

células em proliferação de acordo com o processo de Moran [39] reprodução. Um passo de tempo elementar deste processo consiste em uma divisão celular e uma morte celular. Para cada evento de divisão, uma célula é escolhido proporcional aleatória para fitness; o evento divisão pode produzir uma célula filha mutante com uma pequena probabilidade. Para cada evento morte, uma célula é escolhido aleatoriamente a partir da população. O número total de células,

N

, é constante ao longo do tempo. Estas células podem se acumular (epi) alterações genéticas e /ou alterações genômicas estruturais; estes são referidos colectivamente como “mutações”. Consideramos três tipos de células: as abrigando sem mutações, denotado como 0-tipo de células, aqueles que alberga o primeiro de uma sequência de duas mutações, denotado como células de tipo-1, e aqueles albergando ambas as mutações, designadas por células tipo-2. Inicialmente, a população consiste inteiramente do tipo-0 células; estas células têm aptidão relativa (isto é, taxa de crescimento). Durante cada divisão celular do tipo 0, uma célula de tipo-1 pode surgir com uma probabilidade igual à taxa de mutação. A aptidão de células tipo 1 é dada por. Finalmente, uma célula do tipo 2 podem surgir com a probabilidade por divisão celular tipo-1 e tem aptidão. Assume-se que não há nenhuma mutação de volta porque uma mutação que inverte exactamente a alteração funcional causada por uma mutação específica é rara em relação a uma mutação que provoca uma alteração fenotípica. O tempo é medido em unidades de divisões celulares. Eventualmente, um células do tipo 2 aparece e pode tornar-se dominante na população; este evento representa a evolução de células adaptativas

Em estudos anteriores [20], [22], foram considerados três estados de uma população homogênea:. estados em que todas as células na população são de tipo 0, tipo -1 ou tipo-2 (Figura 1A). Os autores então aproximadas a dinâmica de fixação e de encapsulamento de uma população heterogénea utilizando uma probabilidade de fixação e uma taxa de encapsulamento. Esta aproximação, no entanto, ignora o tempo a partir do aparecimento de uma célula mutado para a sua fixação, bem como os efeitos de quaisquer acontecimentos mutacionais adicionais durante o tempo até que a fixação; esta escolha foi feita devido à observação de que o tempo de espera de nova mutação é geralmente muito mais tempo do que o tempo de fixação nos regimes parâmetro considerado. Em algumas situações que surgem durante tumorigênese, no entanto, estes efeitos não pode ser negligenciado – especialmente quando as taxas de mutação são grandes. Nesses casos, a aproximação anteriormente derivada não fornece um ajuste preciso à solução exacta do sistema. Nós, portanto, destinada a considerar a dinâmica evolutiva de duas mutações que surgem em uma população heterogênea, utilizando os métodos descritos no seguinte (Figura 1b).

O painel A mostra a abordagem publicado anteriormente para descrever a dinâmica evolutiva de duas mutações no uma população de tamanho fixo de células; apenas as transições entre as populações homogéneas são considerados. Painel b mostra nossa nova abordagem, que engloba considerando as transições em uma população heterogênea em detalhe.

Monte-Carlo simulações

Em primeiro lugar, realizadas simulações de Monte-Carlos do modelo descrito acima . Denotam o número de tipo 0, tipo 1, e as células de tipo 2 por

n

0,

n

1 e

n

2, respectivamente. O tempo é medido em ciclos celulares. Durante cada unidade de tempo, uma divisão celular e morte celular um evento ocorrer para manter um número total de células constante. Durante um intervalo de tempo, a probabilidade de uma divisão de células de cada tipo de célula é dada bywhile a probabilidade de uma morte de células de cada tipo de célula é dada por

A condição inicial é dada por e. Realizamos 100.000 corridas para cada conjunto de parâmetros e obteve a fração de casos em que a população é constituída inteiramente de células tipo 2 em um determinado momento.

Uma nova abordagem

Nós alargado a nossa obtido anteriormente resultados [22] para descrever com precisão as situações em que as taxas de mutação são grandes, considerando as transições específicos entre estados dentro de uma população heterogênea. Denote por, e, respectivamente, as probabilidades em tempo de

t

que o sistema é composto exclusivamente de tipo 0, tipo 1, e as células de tipo 2. Em seguida, a dinâmica da população pode ser descrito pelas forward Kolmogorov equações diferenciais: (1a) (1b) (1c)

A taxa na qual as transições populacionais do tipo 0 para digitar-1,

um

, é dado por (2) Aqui denota a probabilidade de fixação de um 1-tipo de células em uma população de

N

-1 0-tipo de células e dada por (3)

incluímos o efeito da taxa de mutação na probabilidade de fixação porque, em situações em que é muito grande, as mutações adicionais podem ocorrer durante a fixação da linhagem antiga. Se, então, o que foi derivado anteriormente [20].

A taxa de tunelamento, ou seja, a taxa na qual as transições populacionais do tipo 0 para digitar-2, sem a fixação de células tipo 1,

b

, é dada por (4) Aqui denota a probabilidade de não aparecimento ou extinção de um novo tipo-2 linhagem de

i

células do tipo-1. Com e, pode numericamente ser calculada a partir da seguinte equação: (5) Aqui. Em ambas as equações de e, nós incluir eventos de mutação, o que pode aumentar ou diminuir a aptidão relativa de cada tipo de célula. Veja [22] para uma derivação detalhada do

Em seguida, vamos considerar a quantidade seguinte:. Então nós temos (6) Se assumirmos (7), onde, então temos (8) Ao tomar a derivada de Eq. (6) e (8), obtém-se a Equação. (1). Equação 1 não se sustenta mais, no entanto, quando a segunda taxa de mutação, é muito grande, uma vez equação 7 não se sustenta. Portanto, vamos próxima calcular em uma população heterogénea de tipo-1 e células do tipo 2.

Considere o

N

+1 estados que são classificados pelo número de células do tipo-2,

k =

0, 1, 2, …,

N

. Como estamos interessados ​​na situação após o surgimento de células tipo 1, o número de células de tipo-1 torna-se

N Restaurant –

k

. Em seguida, as probabilidades de transição são dadas por (9a) (9b) (9c) para

k =

1, 2, …,

N

-1. Para

k =

0, temos. Note-se que a probabilidade de transição inclui a segunda taxa de mutação, que é normalmente negligenciado quando se calculam a probabilidade de fixação no processo Moran devido à suposição de uma taxa de mutação muito pequena. Em seguida, considere as seguintes quantidades: (10) onde

k

= 0, 1, 2, …,

N

.. Assim, temos (11) Por definição, temos a condição de contorno, e a condição inicial, para

k

= 1, 2, 3, …,

N

-1. Em seguida, obtemos a seguinte equação para trás: (12) Ao tomar o limite quando, temos (13) Note-se que a partir da Eq. (1a) e, o que temos. Nós definir o segundo termo da equação. (6), (14) Aqui uma vez. Finalmente, temos (15) Ao calcular a derivada da Eq. (14), temos (16) Eq. (15) proporciona bons prognósticos para todas as gamas de taxas de mutação e os valores relativos da aptidão de células mutantes, excepto quando as células do tipo-0 e tipo-2 são neutros () e a aptidão relativa de células do tipo 2 é menor do que a de tipo 0 células (Figura S2). Embora este método funciona em uma região parâmetro de largura, a fim de investigar regiões de parâmetros onde não prever com precisão a dinâmica exatas, consideramos dois métodos alternativos.

cálculo sistemático de todas as transições

Vamos -nos por denotar o estado do sistema em que os números de tipo-1 e células do tipo 2 são

i

e

j

, respectivamente. O estado está confinado dentro das seguintes condições:,, e. O sistema será eventualmente absorvido no estado, indicando que as células do tipo 2 tenha atingido fixação (isto é, 100% de frequência) dentro da população. A probabilidade de fixação de 2-tipo de células a partir de cada estado é então determinada usando um cálculo para trás. Para

i =

0, 1, 2, …,

N

, e

j =

0, 1, 2, 3, …,

N

, satisfazendo

i

+

j

≤

fixação N

, consideramos a probabilidade, que as células do tipo 2 chegaram antes da hora de

t

, a partir de estado. A condição de contorno é dada por (17), enquanto a condição inicial é dada por (17b) (17c)

Vamos considerar as transições de estado e derivar as fórmulas de recorrência para. Dentro de um curto intervalo de tempo, existem seis transições:

[1] Uma transição a partir de ocorre quando uma célula do tipo 0 morre e é substituído por uma célula de tipo-1. Existem duas maneiras para que isso ocorra: (i) uma célula de tipo-0 pode morrer e uma célula de tipo-1, podem dividir (sem mutação para dar origem a uma célula de tipo-2) ou (ii) uma célula de tipo-0 pode morrem e uma célula do tipo 0 pode dividir e se transformar em uma nova célula tipo-1. Então a probabilidade de transição é dada por. Aqui representa a probabilidade de morte de uma célula do tipo 0 durante um curto intervalo de tempo, representa a probabilidade de aumentar o número de células do tipo 1, e dá o inverso da velocidade de reacção total.

[2] uma transição de a ocorre quando uma célula morre tipo-1 e é substituído por uma célula de tipo-0. A probabilidade deste evento é dada por.

[3] A transição do que ocorre quando uma célula do tipo 0 morre e quer uma célula se divide tipo 2 ou uma célula de tipo 1 divide com uma mutação, dando origem a um novo tipo de células-2. A probabilidade de transição deste evento é dada por.

[4] A transição do que ocorre quando uma célula do tipo 2 morre e é substituído por tipo 0 celular. Esta probabilidade é este evento dado por.

[5] A transição do que ocorre quando uma célula do tipo 2 morre e quer uma célula tipo 1 divide sem uma mutação ou uma célula do tipo 0 divide com uma mutação . A probabilidade de transição para este evento é dada por.

[6] A transição do que ocorre quando uma célula do tipo-1 morre e quer uma célula se divide tipo 2 ou uma célula de tipo 1 divide com uma mutação. A probabilidade de transição para este caso é dado por

Além disso, existe uma possibilidade de que nenhuma transição ocorre durante um curto intervalo de tempo.; a probabilidade de qualquer evento que ocorre é dada por um menos a soma de todas as probabilidades de transição descritas acima

Considerando essas transições entre estados, temos a seguinte fórmula de recorrência:. (18)

As lado esquerdo da Eq. (18) denota a probabilidade de fixação de uma célula do tipo 2 dentro do intervalo de tempo Δ

t

, dado que o estado inicial é. O lado direito é composto dos caminhos de acordo com o tipo de evento que ocorra durante o intervalo de tempo de comprimento. Ao calcular o limite quando, temos (19)

Usando a Eq condição inicial. (17b) e Eq. (17c), ea condição Eq limite. (17a), podemos determinar numericamente, o que representa a probabilidade de fixação de células tipo 2 até a hora do

t

em uma população a partir de

N

tipo 0-células (Figura S1). Embora este método fornece resultados precisos, o tempo necessário para o cálculo numérico, isto é, o número de equações, aumenta de uma forma factorial como o tamanho da população aumenta; Por outro lado, aumenta linearmente no primeiro método. Por conseguinte, este método não é adequado para a determinação da dinâmica de uma população grande.

A abordagem de simulação para o caso neutra ()

Uma fórmula analítica que descreve o comportamento de um sistema pode servir várias objetivos. Um objectivo importante é a possibilidade de obter rapidamente uma previsão dos resultados esperados de um processo, sem a necessidade de, na verdade, a execução do processo – não importa se é um processo experimental ou uma simulação de Monte-Carlo que representa uma grande carga computacional. Este objectivo pode também ser conseguida através da aproximação da simulação de Monte-Caro demorado por outra simulação de Monte-Carlo, que é muito menos dispendiosa. Embora as duas simulações diferem, quanto mais rápido uma ainda pode servir como uma boa aproximação de um a mais lenta. Note-se que a utilização do modelo de Wright-Fisher, neste contexto, serve apenas para aumentar a velocidade computacional da nossa simulação, e é, portanto, concebido como uma aproximação ao modelo Moran. O modelo de Wright-Fisher era

não

introduzida para estudar um modelo população alternativa, mas em vez foi usado como uma aproximação ao modelo sob investigação (o modelo Moran) somente.

Aqui nós apresentamos o utilização do processo de encapsulamento na estrutura Wright-Fisher como uma aproximação para o processo de encapsulamento na estrutura Moran. No quadro Moran, cada geração é composto de

O

(

N

) passos aleatórios, enquanto no quadro Wright-Fisher, o número de passos ao acaso por geração é independente de

N

. Em vez disso, depende apenas do número de tipos de células distintos, porque existe uma necessidade apenas para gerar o número de descendentes cada tipo terá na geração seguinte, e isto pode ser feito em conjunto.

Realizamos a Wright -Fisher simulação de Monte-Carlo da seguinte maneira. Em um determinado momento

t

o estado do sistema é descrito pelo vetor

n

(

t

), onde

n

0 é o número de células de tipo-0,

N

1 é o número de células de tipo-1, e n

2 é o número de células do tipo 2. A cada passo o tempo de geração, a população atual gera a próxima geração denotado por [

m

0,

m

1,

m

2] a partir de uma distribuição multinominal, com um vector de probabilidade. A partir da nova prole de 0-tipo de células, um número binomial distribuída, com os parâmetros

m

0 e

u

1, sofrer mutações e tornar-se células de tipo-1, e da descendência de células tipo 1, uma série binomial distribuída, com os parâmetros

m

1 e células

u

2, mutação, se tornarem tipo 2. O processo começa com

N

0 células do tipo 0 e pára quando um tipo de célula atinge a fixação ou quando o processo atingir o tempo máximo. Para um determinado conjunto de valores de parâmetros, 100.000 repetições da simulação Monte-Carlo foram realizadas e que a probabilidade de fixação foi estimada como a fracção de casos em que as células do tipo-2 chegou a fixação pelo tempo

t

. A fim de comparar o processo de Wright-Fisher para o processo de Moran, o tamanho da população

N

0 foi, em seguida, tornou a ser escalonado com a escala padrão de dividir pelo desvio padrão do número de descendentes de cada célula individual possui , que está no processo de Moran. Assim, o tamanho da população utilizada no processo de Wright-Fisher é.

Uma vez que o primeiro método tem um bom desempenho para o caso não-neutro,, aplicou-se a aproximação de Wright-Fisher apenas para o caso neutro,. Em geral, o processo de Wright-Fisher tem uma probabilidade de fixação semelhantes, como o processo de Moran, e, portanto, podem servir como uma boa aproximação do modelo Moran. Em situações em que a probabilidade de fixação é muito pequena, a diferença entre os dois processos aumenta, tornando assim essa aproximação menos exacto; No entanto, nestas situações, as abordagens descritas acima levam a previsões precisas.

Resultados

Nós investigamos a qualidade do ajuste das aproximações com os resultados numéricos de exatas as simulações de computador estocástica. A Figura 2 mostra o encaixe entre a primeira aproximação e resultados de simulação de Monte Carlo, uma região parâmetro importante (figura 2). No entanto, quando o valor da aptidão de células do tipo 2 é o mesmo que o tipo de células-0, esta aproximação não fornece previsões precisas (Figura S1). Consideramos esta região parâmetro em maior detalhe mais tarde. A análise exaustiva mostrou que a probabilidade de tipo 2 de fixação aumenta quando as taxas de mutação são grandes e a aptidão de células de tipo-2 é grande.

A figura mostra a dependência da probabilidade de que células do tipo 2 são fixos em tempo de

t

em vários parâmetros. Resultados por Eq. (15) são indicadas por curvas e aqueles a partir de simulações de computador diretos são mostrados por pontos. Os resultados dos cálculos numéricos estão ligados e mostrado como uma curva. Os valores dos parâmetros são,; (A-I) e; (A-c); (D-f); (G-I); (A), (d), e (g); (B), (e), e (h); e (c), (f), e (i). (a-i) Círculos e curvas finas representam, triângulos e linhas pontilhadas representam, e as estrelas e linhas arrojadas representam. (J-M), e; (J) círculos e curvas finas representar e, triângulos e linhas pontilhadas representam e; (K) círculos e curvas finas representar e, triângulos e linhas pontilhadas representam e; (L) círculos e curvas finas representar e, triângulos e linhas pontilhadas representam e, e as estrelas e linhas arrojadas representar e; e (m) triângulos e linhas pontilhadas representam e, e as estrelas e linhas arrojadas representar e.

Além disso, descobrimos que existe um valor ideal da aptidão de células de tipo 1 que maximiza a fixação probabilidade de células do tipo 2 num dado ponto de tempo. Se a aptidão de células de tipo-2 é a mesma que a de 0-tipo de células e se as taxas de mutação são pequenos, então o valor óptimo para a aptidão de células de tipo-1 torna-se 1 (Figura 2c). Se a primeira taxa de mutação é muito grande, então, um efeito desvantajoso da primeira mutação conduz à maior probabilidade de Tipo-2 de fixação (Figura 2a). Se a segunda taxa de mutação é muito grande, então, um efeito vantajoso dos primeiros resultados mutação no maior probabilidade de Tipo-2 de fixação (Figura 2b-c). Se a aptidão de células do tipo 2 é maior do que a de 0-tipo de células, a aptidão óptimo das células tipo-1 situa-se entre a de tipo 0 e 2-tipo de células, na maioria dos casos (Figura 2d-f). No entanto, quando a primeira taxa de mutação é muito grande e a segunda taxa de mutação é muito pequena, em seguida, uma primeira mutação desvantajoso novamente conduz à maior probabilidade de Tipo-2 de fixação (Figura 2d).

Além disso, quando o segunda taxa de mutação é muito grande e a primeira taxa de mutação é baixo, o condicionamento óptimo das células tipo-1 torna-se ainda maior do que a de células do tipo 2 (Figura 2d-f). Mesmo que a aptidão de células do tipo 2 está prevista para ser menor do que a de 0-tipo de células, a fixação pode ainda ocorrer quando o tamanho da população é pequena (Figura 2G-I). Quando as células do tipo 2 são vantajosas em comparação com 0-tipo de células, a tendência da aptidão óptimo das células tipo-1 não depende de diferentes valores de tamanho da população (Figura 2j-m). Quando o tempo aumenta, então a probabilidade de fixação da população com duas mutações também aumenta (dados não mostrados).

A seguir, investigou as previsões do método alternativo, que determina todas as transições entre os estados. Usando a Eq condição inicial. (17b) e Eq. (17c) ea condição Eq limite. (17a), que numericamente determinado, o que representa a probabilidade de fixação de células tipo 2 até a hora do

t

em uma população a partir de

N

tipo-0 células. Figura 3 e Figura S2 exibir o ajuste de contra resultados de simulações de computador diretos do modelo de Moran em uma região parâmetro ampla de tamanhos de população pequena. As previsões fornecer um ajuste preciso com os resultados da simulação.

A figura mostra a dependência da probabilidade de que células do tipo 2 são fixos no momento

t

em vários parâmetros. Resultados por cálculos sistemáticos,

W

(0,0,

t

), são indicados nas curvas e aqueles a partir de simulações de computador diretos são mostrados por pontos. Os valores dos parâmetros são e; ; (A-c); (D-f); (G-I); (A), (d), e (g); (B), (e), e (h); e (c), (f), e (i). Círculos e curvas finas representam, triângulos e linhas pontilhadas representam, e as estrelas e linhas arrojadas representam.

Além disso, realizamos simulações computacionais utilizando a estrutura Wright-Fisher para obter os resultados aproximados do modelo Moran (veja método alternativo 2 acima). A Figura 4 mostra o encaixe entre os resultados do modelo de Wright-Fisher e os do modelo Moran. Este método fornece previsões precisas para os casos em que a aptidão de células de tipo-2 é a mesma que a aptidão das células tipo-0.

A figura mostra a dependência da probabilidade de que células do tipo 2 são fixados em tempo de

t

em vários parâmetros. Resultados por um quadro Wright-Fisher são indicadas por curvas e aqueles a partir de simulações de computador diretos são mostrados por pontos. Os valores dos parâmetros são e; (A-c); (D-f); (G-I); (A), (d), e (g); (B), (e), e (h); e (c), (f), e (i). (a-i) Círculos e curvas finas representam, triângulos e linhas pontilhadas representam, e as estrelas e linhas arrojadas representam. (J e K); (J) círculos e curvas finas representar e, triângulos e linhas pontilhadas representam e; e (d,h,l,p,t,x,B,F).

doi:10.1371/journal.pone.0065724.s003

(TIFF)

Acknowledgments

The